sistem bilangan

BAB I SISTEM BILANGAN A. Macam Bilangan ð Bilangan Desimal Bilangan desimal merupakan bilangan basis 10, bilangan dasarnya: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. ð Bilangan Biner Bilangan biner merupakan bilangan basis 2, bilangan dasarnya: 0 dan 1. Satu bilangan biner direpresentasikan oleh 1 bit. Cara merubah bilangan desimal ke biner dengan cara membagi dengan 2 dan menghitung sisa pembagiannya. Misal: 23 = …. (2) 23/2 = 11 sisa 1 11/2 = 5 sisa 1 5/2 = 2 sisa 1 2/2 = 1 sisa 0 1/2 = 0 sisa 1 Cara membacanya dari bawah ke atas, sehingga 23 = 10111 (2) Untuk merubah biner menjadi desimal, misal: 10111 (2) = ….. (10) (1X24) + (0X23) + (1X22) + (1X21) + (1X20) = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23 ð Bilangan Oktal Bilangan oktal merupakan bilangan basis 8, bilangan dasarnya: 0,1,2,3,4,5,6,7. Satu bilangan oktal direpresentasikan oleh 3 bit. Merubah desimal ke oktal tinggal membagi dengan 8 dan menghitung sisa pembagiannya, hampir sama seperti desimal ke biner. Untuk merubah oktal ke desimal pun caranya juga hampir sama seperti biner ke desimal. Mengalikan bilangan oktal dengan 8 pangkat posisinya. Merubah biner ke oktal melalui tabel bantu: Misal ubah 10111(2) = … (8) Bilangan di atas dikelompokkan menjadi 3 terlebih dahulu yakni 010 dan 111, sehingga 10111(2) = 27 (8) Untuk merubah oktal ke biner dengan cara kebalikannya, yakni mencari angka oktal pada tabel kemudian dijadikan bilangan 1 dan 0. ð Bilangan Heksadesimal Bilangan heksadesimal merupakan bilangan basis 16, bilangan dasarnya: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F. Satu bilangan heksadesimal direpresentasikan oleh 4 bit. Merubah bilangan desimal ke heksa dan sebaliknya dengan cara yang mirip seperti biner/oktal ke desimal dan desimal ke biner/oktal. Sedangkan merubah biner ke heksa melalui tabel bantu: Cara penggunaanya hampir sama dengan tabel bantu oktal, namun disini dikelompokkan menjadi 4. Misal: 10111(2) = … (16). Dikelompokkan menjadi 0001 dan 0111. Selanjutnya dicocokkan dengan tabel di samping sehingga 0001 = 1 dan 0111 = 7. Maka hasilnya 10111(2) = 17 (16) Untuk heksa ke biner dengan cara mencari bilangan pada kolom kanan kemudian dicocokkan dengan kiri. Misal 1 = 0001 dan 7 = 0111, sehingga ditemukan 10111. ð Bilangan BCD (Binary Code Desimal) Tiap digit bilangan desimal dibagi menjadi 4 bit dalam bentuk biner. Misal: 139 = …(BCD). Maka 1 = 0001, 3 = 0011 dan 9 = 1001, sehingga diperoleh 139 = 100111001 (BCD). Sistem kerjanya mirip dengan heksa ke desimal, sehingga dapat menggunakan tabel bantu di atas. B. Aritmatika Biner ð Penjumlahan 110 Ket: 0 + 1 = 1 11 1 + 1 = 0 menyimpan 1 —–+ 1 + 1(hasil simpanan) = 0 menyimpan 1 1001 0 + 1(hasil simpanan) = 1 ð Pengurangan 110 Ket: 0 – 1 = 1 (0 menjadi 2 karena meminjam nilai dari sebelahnya) 11 2 – 1 = 1 (0 menjadi 2 karena meminjam nilai dari sebelahnya) —– - 1 yang terakhir menjadi 0 karena telah dipijam 11 ð Pekalian 110 Ket: Teknisnya sama dengan perkalian biasa dan penjumlahan 11 —– x 110 110 —– + 10010 ð Pembagian 11 Ket: Teknisnya sama dengan pembagian biasa dan pengurangan 10 / 110 10 – 10 10 – 0 C. Bilangan Negatif Ada 3 cara penulisan bilangan negatif dalam biner: ð Sign magnitude Cara ini dengan menggunakan tanda, yakni sign bit 0 = positif dan 1 = negatif. Direpresentasikan dalam 7 bit, dan bit paling kiri menyatakan sign bit. Misal: + 25 = 0 0011001 dan -25 = 1 0011001 ð Komplemen 1 Cara ini memiliki aturan merubah bit 0 menjadi bit 1. Misal dari diketahui nilai +25 = 00011001, untuk mencari nilai negatifnya dengan mengubah bit 0 menjadi 1 dan sebaliknya. Sehingga -25 = 11100110. ð Komplemen 2 Rumus dari komplemen 2 ialah: “Komplemen 1 + 1”. Misal +25 = 00011001 -25 = 11100110 (Komplemen 1) -25 = 11100111 (Komplemen 2) Pengecekan validitas: ((-1)x27) + (1×26) + (1×25) + (1×22) + (1×21) + (1×20) = (128) + 103 = 25 D. Integer Number ð 8 bit number sebagai ilustrasi dikarenakan 8 bit secara paling umum dalam computer dinamakan BYTE. ð 1 byte direpresentasikan dalam 8 bit, memiliki 28 = 256 angka yang berbeda. ð 16 bit memiliki 216=65536 angka yang berbeda ð 32 bit memiliki 232=4295×109 angka. ð Untuk n bits memiliki 2n angka. ð Untuk komplemen 2, maka memiliki nilai mulai –(2n-1) sampai dengan +(2n-1-1) E. Floating Point Rumus + (1+F) + () Contoh : 1011 0100 10001 = 1,0110 1001 0001 x 1) Sign 2) = =E = 139 (1000 1011) 3) = 1, 0110 1001 0001 BAB II RANGKAIAN KOMBINASIONAL A. Pengertian Rangkaian kombinasional ialah rangkaian dimana setiap outputnya hanya merupakan fungsi input pada suatu saat tertentu saja. Komponennya terdiri atas gerbang logika. Logic Gate (Gerbang Logika) adalah merupakan dasar pembentuk sistem digital. Logic Gate mempunyai gerbang logika dasar yaitu NOT, AND dan OR. Dari 3 gerbang logika dasar dibentuk 4 gerbang logika tambahan yaitu NAND, NOR, EXOR, dan EXNOR. BAB III ALJABAR BOOLEAN A. Pengertian Aljabar Boolean merupakan cara yang ekonomis untuk menjelaskan fungsi rangkaian digital, bila fungsi yang diinginkan telah diketahui, maka aljabar boolean dapat digunakan untuk membuat implementasi fungsi tersebut dengan cara yang lebih sederhana. B. Hukum Aljabar Boolean ð A + 0 = A (IDENTITAS) A × 1 = A ð A + A’ = 1 (INVERS) A × A = 0 ð A + 1 = 1 A × 0 = 0 ð A + A = A A × A = A ð (A’)’ = A ð A + B = B + A (KOMUTATIF) A × B = B × A ð A + (B × C) = (A + B) × (A + C) (DISTRIBUTIF) A × (B + C) = (A × B) + (A × C) ð A + (B + C) = (A + B) + C (ASOSIATIF) A × (B × C) = (A × B) × C ð (A × B)’ = A’ + B’ (A + B)’ = A’ × B’ Contoh soal: Sederhanakan bentuk berikut ini 1) xy + x’y = y (x + x’) = y × 1 = y 2) (x + y) (x + y’) = x + (y × y’) = x + 0 = x 3) A’B’C + A’BC + AB’ = A’C (B’ + B) + AB’ = A’C × 1 + AB’ = A’C + AB’ Tentukan komplemen dari soal berikut 1) A + B + C = (A + B +C)’ = A’ × B’ × C’ 2) AB + A’C = (AB + A’C)’ DUALITY = (AB)’ × (A’C)’ = (A’ + B’) × (A + C’) C. Adder 0 0 1 1 0 1 0 1 —–+ —-+ —-+ —-+ 00 01 01 10 Carry sum Carry = Simpanan Tabel kebenaran A B Carry Sum 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 Sum = A’ B = A B’ = A Å B Carry = A . B Misal : 1 2 3 9 —–+ half adder, karena hanya punya 2 suku 5 1 full adder, karena punya suku lengkap (punya simpanan) D. Peta Karnaugh Salah satu teknik yang paling mudah untuk penyederhanaan rangkaian logika adalah dengan menggunakan peta karnaugh. Peta karnaugh dapat digunakan untuk menyusun aljabar boolean minterm (SOP) dan aljabar boolean maksterm (POS). Penyusunan Peta Karnaugh menggunakan urutan Sandi Gray yaitu : 00, 01, 11, 10 atau A’B’ , A’B, AB, AB’ Peta Karnaugh dengan dua variabel B’ B A’ A Peta Karnaugh dengan Tiga variabel C’ C A’. B’ A’. B A . B A . B’ Peta karnaugh dengan empat variabel : C’ . D’ C’.D C . D C . D ‘ A’. B’ A’. B A . B A . B’ Pada peta karnaugh, penyederhanaan dilakukan dengan cara melingkari nilai-nilai yang bersebelahan. Bisa dua kotak atau empat kotak. Berikut ini merupakan contoh pelingkaran-pelingkaran yang tidak biasa pada peta karnaugh : Contoh: Sederhanakan persamaan A’C + A’B + AB’C + BC Cara 1 Caranya ialah dengan memasukan nilai input (A, B, C) ke dalam rangkaian soal Cara 2 A’C = A’BC + A’B’C = 011 + 001 A’B = A’BC + A’BC’ = 011 + 010 AB’C = = 101 BC = ABC + A’BC = 111 + 011 Setelah ditemukan persamaan di atas, tinggal memasukkan pada peta karnaugh Output = C + A’B C A’B E. Multiplexer Multiplexer berfungsi untuk memilih salah satu 2n dari input menjadi satu output saja. Prinsipnya mirip dengan saklar pemilih, dari 2n buah input dipilih melalui n-buah jalur pemilih. Control Contoh: Jika P = 0, output = A dan P = 1, output = B PB P’A Output = PB + P’A F. Comparator P Q R Output = P = AB’ Q = A’B’ + AB = A’Å B’ R = A’B